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Étude d'intégrateurs géométriques pour des équations différentielles

le 10 décembre 2008

14H - Groupe de travail "Applications des Mathématiques"

ENS Rennes Bâtiment Sauvy, Salle 5 (rdc)
Plan d'accès

Séminaire de Gilles Vilmart (IPSO et Université de Genève) au groupe de travail "Applications des mathématiques"

Lien vers la page Web de l'orateur
Résumé : Il s'agit d'un travail commun avec Philippe Chartier et Ernst Hairer. On s'intéresse à l'étude et la construction de méthodes numériques géométriques pour les équations différentielles qui préservent des propriétés géométriques du flot exact, notamment la symétrie, la conservation d'intégrales premières, la symplecticité pour les systèmes hamiltoniens, la structure de Poisson, etc. On présente d'abord les principales idées de la théorie des équations modifiées (backward error analysis) utilisée pour l'étude d'intégrateurs numériques géométriques pour des équations différentielles. On introduit ensuite une nouvelle approche pour la construction d'intégrateurs numériques géométriques d'ordre élevé en s'inspirant de la théorie des équations différentielles modifiées. Cette approche se révèle particulièrement efficace pour l'intégration des équations du mouvement d'un corps rigide. On étudie spécifiquement le cas des intégrateurs développables en Butcher-séries (B-séries), qui inclut notamment toutes les méthodes de Runge-Kutta. On introduit une nouvelle loi de composition sur les B-séries, appelée "loi de substitution" et correspondant à la composition des champs de vecteurs. Il est connu (A. Dür 1986, C. Brouder 2000) que la loi de composition standard sur les B-séries (groupe de Butcher) est étroitement liée au coproduit de l'algèbre de Hopf des arbres de Connes & Kreimer pour la renormalisation en théorie quantique des champs. Il a été démontré récemment que la loi de substitution permet de construire une nouvelle algèbre de Hopf sur les arbres (D. Calaque, K. Ebrahimi-Fard & D. Manchon, 2008).

Thématique(s)
Recherche - Valorisation
Contact
Virginie Bonnaillie-Noël et Grégory Vial

Mise à jour le 18 décembre 2008